A dimenzió galéria kialakulásának rövid története.

 

Ez a galéria az ÖT SZABÁLYOS TESTről szól:

Betlej Tamás grafikája.

 

Arra ösztönzi elménket, hogy elrugaszkodjunk a sík világától, hiszen térben élünk. A teret, a tárgyakat magunk körül nagyon is három dimenziósnak éljük meg. De mi a helyzet a képzeletünkben? Itt már sokkal rosszabbul állunk. Ha a galéria néhány képét kinagyítva megnézegetjük, úgy gondolom mindenki számára világossá válik, hogy miért van gond a képzeletünkkel. A pálcikák halmaza sehogyan sem akar szabályos, gömbszerű testekké összeállni a fejünkben. Persze néhányunk elég jól el tudja képzelni őket elsőre. Ez azért van, mert ők a munkájukból, vagy valamilyen más okból eredően a képzeletüket edzésben tartják. Mert ezt ugyanúgy jó kondícióban tudjuk tartani, mint az izmainkat. Aki vissza tud emlékezni gyerekkorára, hogy akkor még mennyire jól működött a képzelete. Egy mese, vagy regény szereplőit annyira precízen el tudtuk képzelni, hogy amikor filmen megláttuk el voltunk keseredve miért nem olyan egy szereplő, amilyennek elképzeltük. E varázslatos képességünk az idő előrehaladtával megkopik. Még egy A betűt, vagy egy számot jól el tudunk képzelni, mert megjelenik a fejünkben egy kép róla. Egy mozgó jelenettel azonban, már bajban vagyuk pl. képzeljünk el egy lovat futni egy erdőben... Pedig akinek fejlett az elképzelő ereje, az sikeresebb, hiszen bármilyen feladatot kap, azt könnyedén elképzeli és a megoldást is hozzá tudja képzelni. A problémamegoldás gyorsasága, pedig valljuk be, a siker egyik titka. Hamarabb észrevenni a lehetőséget, a megoldást, gyors és jó képzelőerővel lehet, ez pedig nagyon jól megtanulható és fejleszthető. Ennek a dimenzió galériának a nézegetése például egy ilyen fejlesztő gyakorlat. Azért hoztam létre, hogy ellensúlyozzam az iskolarendszereinknek a síkgondolkodásra nevelését. Hogy ez milyen mértékű, azt a főiskolán értettem meg egy mechanika vizsgán. Középen ültem az első padban, így láthattam a dolgozatokat, amit mellettem vittek ki. Volt egy feladat, ahol rajzolni kellett egy hatlapfejű csavart. Olyan sok pontot adtak rá, hogy majdnem magában elég volt a ketteshez. Élelmiszeripart tanultunk, ezért nem volt szakmai tantárgy a mechanika, de nagyon el lehetett vérezni rajta, mert szigorú volt a tanár. Szinte csak én rajzoltam egyedül, amin teljesen megdöbbentem. Képesek voltak egy vastag könyvet átrágni, nem túl nagy sikerrel - mert az osztály nagy része megbukott -, mint hogy néhány csavart megtanuljanak lerajzolni. MIÉRT? Talán, mert nem tudták elképzelni annyira, hogy a vonalakat jó helyre rajzolják...

Hova tűnik a varázslatos gyerekkori képzeletünk. Ezt a kérdést sokszor föltettem magamnak és visszagondoltam az életemre, hol történhet a visszafejlődés. A kémia pálcika rajzai jutottak eszembe, hiszen mindent laposan, síkban kellett lerajzolnunk. A dolgozatokban lapos molekulákat rajzoltunk. A metán, a szőlőcukor és minden más is, egy sík világ lett a fejünkben. A molekulák, amikből állunk laposak lettek. Hiába volt a könyv végén néhány térbeli ábra, sokat nem segített a helyzeten.

A metán molekulát biztosan mindenki ismeri. Egy szén atomból és körülötte négy hidrogénatomból áll. De hogy kellett rajzolnunk??? Egy kereszt csúcsaira kerültek a hidrogének, Pedig a pontos ábrázolás

1.ábra

ha a képen látható alakzat csúcsaiba rajzoljuk a hidrogéneket, a szenet pedig a közepére.

Ezt az alakzatot egyébként TETRAÉDERnek hivjuk. A TETRA négyet jelent, az ÉDER pedig oldalt, tehát ez egy négyoldalú szabályos test.

Itt elérkeztünk a galéria témájához. A dimenzió galéria, az öt szabályos testről szól.

Négy éve tartok foglalkozásokat gyerekeknek és felnőtteknek, ahol a galériában látható egyszerűbb testeket készítjük el hurkapálcából. Az a tapasztalatom, hogy a visszafejlődött képzelet is azonnal szárnyal, ha egy térbeli modellt elkészít és a kezében tart valaki. A modellek hiánya tehát az, ami visszafejleszti a képzeletet. Könyvekböl, sík ábrákból tanulunk 8, 16, 20 éven keresztül. Először még talán el tudjuk képzelni a képeken látható modelleket, később már csak azt hisszük, hogy el tudjuk képzelni. Még egy öt éves gyerek is a legnagyobb természetességel ragaszt össze egy DODEKAÉDERT - 12 oldalú szabályos test -, a felnőtteknek már nehezebben megy, de eddig mindenki képes volt megcsinálni. És ahogy elkészül az első test elmúlik a görcsösség és mindenkinél elmúlik. Csak azoknál nem, akik meg sem próbálkoznak félelemből.

Öt szabályos testet ismerünk, elnevezésük egyszerű. A nevük első része egy számot jelent, a második része pedig azt jelenti, hogy oldal.

TETRAÉDER        négyoldalú

HEXAÉDER          hatoldalú

OKTAÉDER          nyolcoldalú

DODEKAÉDER    tizenkétoldalú

IKOZAÉDER        húszoldalú  szabályos test.

Először elkészítettem őket 7 évvel ezelőtt. Azután elkezdtem tovább boncolgatni, úgy is mondhatnám, hogy az anatómiájukat igyekeztem mélyebben megérteni. A gyakorlati utat választottam ehhez, nem elméletileg próbáltam kiokoskodni egy-egy összefüggést, hanem egyszerűen elkészítettem a modelleket. Ezeket azután kézbevehettem és nézegettem. Egy csodálatos világ tárult fel előttem és egyik felismerés hozta a másikat. Először lassabban, majd egyre gyorsabban és egyre többet. Utak nyíltak meg számomra, amelyek addig álmomban sem léteztek.

 

A szerkesztésekhez segítségként az alábbi táblázatot használtam:

ÉDEREK       

OLDAL   

CSÚCS  

ÉL         

TETRA-

4

4

6

OKTA-

8

6

12

HEXA-

6

8

12

DODEKA-

12

20

30

IKOZA-

20

12

30

A táblázatból rögtön szembeötlik, hogy bizonyos számok megegyeznek a különböző testeknél. A kockának annyi oldala van, mint amennyi csúcsa az oktaédernek, és fordítva. A dodekaédernek és az ikozaédernek hasonlóképpen. Duálisoknak mondjuk őket. Miért?

A szabályos testeknek van egy olyan különleges tulajdonságuk, hogy gömböt írhatunk köréjük, mégpedig úgy, hogy minden csúcsuk hozzáér a gömbhöz. De nem csak kívülről, hanem belülről is szerkeszthetünk gömböt bennük, ekkor pedig a gömb, minden oldaluk középpontjához ér hozzá. Ilyen magas szimmetriával csak ez az öt, háromszög, négyzet és ötszög oldalakkal határolt test rendelkezik a természetben. Miért mondok ilyen butaságot, hogy a természetben megtalálhatjuk őket, amikor senki nem látott még mondjuk dodekaéder alakú almát, vagy tetraéder alakú dinnyét. Pedig mégis a világ nagy része az öt szabályos testből és ezek variációiból építkezik. Hogyan lehetséges ez. Hogy ezt megértsük, lejjeb kell mennünk a molekulák, az atomok világába, hiszen belőlük épül fel az anyag. A testünk, a bolygók, a csillagok, mind atomokból állnak. Milyenek ezek az atomok?

Senki ne ijedjen meg, nem mélyedünk bele az atomfizikába. Azt, hogy proton, neutron és elektron biztosan mindenki halotta már. Ennél nem is kell többet tudni, ahhoz hogy megértsük az atomok geometriáját. Minden atomnak van egy atommagja és általában elektronok keringenek körülötte. Minket most az atommag érdekel. Miből áll egy atommag? Protonokból és neutronokból. A legegyszerűbb egy Hidrogénnek az atommagját elképzelnünk, mert az egy darab protonból áll, ezért gömb alakú. A következő elem a Hélium, ennek az atommagja két protonból és két neutronból áll. Ezeket nyilvánvalóan egy tetraéder négy csúcsára kell elképzelnünk. A Lítium következik, amelyiknek 3 protonja és 3 neutronja egy oktaéder csúcsain helyezkedik el. Így tovább lépegethetünk a periódusos rendszeren. Természetesen nem mindig szabályos testek ragozott változatai a megoldások, de az biztos, hogy az atommagok alkatrészei gömbhalmazokká próbálnak összeállni. A gömbhalmazok viszont főleg az öt szabályos testből és továbbragozott változataikból alakulnak ki. Hogy lehet továbbragozni egy szabályos testet?

A legegyszerűbben a 2. ábrán látható módon. Az alakzatok borsóból készültek, emiatt adódik egy kis görbeség az élekben, a lényeg azért jól kivehető. Az alsó sorban egyre több gömbből álló tetraédersorozat, a felsőben pedig oktaédersorozat látható.

                             2.ábra

 

 

De befelé is struktúrálódhat egy félszabályos test. A 3. ábrán például, ha a kocka sarkait gondolatban eltüntetjük az oldalfelezőknél, akkor a kék színű pálcikákból álló félszabályos testet kapjuk. Ha ennek a csúcsaira gömböket képzelünk, még mindig egy erősen gömbszimmetrikus gömbhalmazt kapunk.
                    3.ábra  

 

 Sőt még tovább folytathatjuk a csonkolást, ekkor a kristályok világában népszerű alakzatokhoz jutunk.
                  4.ábra  

 

 Olyan megoldás is lehetséges, hogy egy szabályos testet saját magához képest elforgatva gyúrunk össze. Az 5. ábrán három oktaéder, egy piros, egy kék és egy szalma színű van egymáshoz képest aranymetszésben elfordítva összeszerkesztve. Ezt fénykép alapján elég nehéz elképzelni, de a következő ábra, ami ennek az alakzatnak a burkolt változata érthetőbbé teszi.
                   5.ábra                                     

 

Itt a fenti alakzat papírból készült változatát láthatjuk. Ha csúcsaira gömböket képzelünk jól látszik mennyire gömbszimmetrikus gömbhalmazt kapunk. A 18 nukleont tartalmazó atommagok, ( a nitrogén, oxigén és a fluór 18 -as izotópjai. ) bizonyára ilyen halmazba rendeződnek.
                    6.ábra    

 

 A mindenki számára ismert konyhasó, (NaCl) kristályszerkezete látható a 7. ábrán. Nem kell nagy képzelőerő ahhoz, hogy észrevegyük a kisebb és nagyobb kockákat a térrácsban, ahol a kék golyó legyen a nátriumion, a fehér pedig a kloridion.
                    7. ábra   

 

 A fémek atomjai is szeretnek kockarácsba rendeződni. A legegyszerűbben a 8. ábrán látható térközepes kockarácsot tudjuk elképzelni. Itt egy kocka négy sarkára és a közepére kell gömböket elképzelnünk. Így kristályosodnak a magnézium, cink, kadmium stb.
                                           8. ábra   

 

A fémek jelentős része ( 23 fémes elem ), a 9. ábrán látható köbös kockarácsú. Ez egyforma gömbök geometriailag legszorosabb illeszkedését képviseli. Itt egyértelműen a geometria szabja meg az illeszkedés mikéntjét. Így kristályosodnak a réz, arany, ezüst, kalcium, alumínium, ólom, platina stb.
                                          9.ábra   

A 9. ábrával kapcsolatban még fontos megjegyezni, hogy a kocka belsejében éppen egy oktaédert adnak ki a golyók szoros térkitötltéssel. Az oktaéderben viszont egy kockát tudunk lapközéppontosan elhelyzni. Így már érthető, hogy miért mondják duálisoknak őket. A dodekaédernél és ikozaédernél is hasonló a helyzet. A dodekaéder 12 oldalának lapközéppontjaihoz ér hozzá egy beleszerkesztett ikozaéder 12 csúcsa és fordítva. Így ők is duálisok. De mi a helyzet az árván maradt tetraéderünkkel? Ő saját maga duálisa. Négy oldalának a középpontjait összekötve, ismét egy négy oldalú tetraédert kapunk.

 

Vannak egészen lenyűgöző képződmények is az atomok világában. Ilyen a 10. ábrán látható rénium-oxid három dimenziós, végtelen oktaéderrácson alapuló szerkezete. Jól látszik, hogy a szabályos testek geometriája egymásbaágyazott rend szerint is jelen van a természetben.
                10.ábra   

 

A stroncium-titán-oxid térrácsa az előbbihez hasonló, csak itt a titán köré kristályosodik ki a tetraéderháló.
                11.ábra   

 

A 12. ábrán azt láthatjuk, hogy nem csak az oktaéder, hanem a tetraéder geometriáját használja hasonló térbeli rend kialakításához a természet. A krisztobalit rácsa rendeződik így.
                12.ábra   

 

Ez az ábra ékes bizonyítéka annak, hogy nem csak a tetraéder, a kockák és az oktaéderek népszerűek a térrácsok világában, hanem az ikozaéder is. A romboéderes Bór rácsát láthatjuk itt.
                13.ábra   

A dodekaéder szerkezetet pedig egy igen közismert anyag, a víz használja. Egy szorosan illeszkedő végtelen dodekaéder hálózatba rendeződik. Azt hiszem ezek után nem vitás, milyen fontos szerepet játszanak a világ hétköznapjaiban a szabályos testek. Érdemes ezért velük megimerkedni. A dimenzió galériát áttanulmányozva még sok egyéb titokra is fény derül. Mindekit szívesen látok, ezen a néha talán kicsit fárasztó, de mindenképpen hasznos szellemi utazáson.